Question

【题目】如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，

.

又平面，平面，

平面.

（2）解:平面，，平面

平面，.

四边形是正方形，.

以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设

,

，，，，，,

,.

，， 分别为，，的中点，

，，,,

（解法一）设为平面的一个法向量，则,

即，令，得.

设为平面的一个法向量,则,

即，令，得.

所以==.

所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）

（解法二），,

是平面一个法向量.

，,

是平面平面一个法向量.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.

（解法三）延长到使得连

，，

四边形是平行四边形，

四边形是正方形，

，分别为，的中点，

平面，平面， 平面.

平面平面平面

故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.

平面平面

平面是二面角的平面角.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.