Question

13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对于关系即可得出直角坐标方程；
（2）把l的标准参数方程代入曲线C的普通方程，根据参数的几何意义和根与系数的关系得出答案．

解答 解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为：x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8．
（2）直线l的标准参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆C的普通方程可得：t²-2$\sqrt{2}$t-4=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-4，t₁+t₂=2$\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{6}$，|PA||PB|=|t₁t₂|=4，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于中档题．