题目内容
在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题正确的个数是（ ）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点，当且仅当k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行也不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点，当且仅当k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：新定义,直线与圆
分析：①举例子说明命题是真命题；
②举反例说明命题是假命题；
③取直线l的两个不同整点，设方程为y=kx，把两整点的坐标代入l的方程，两式相减得到两整点的横、纵坐标之差的那个点也为整点且在l上，由此得到直线l经过无穷多个整点，判定命题为真；
④利用充分必要条件判断即可；
⑤举例子说明命题为真命题．
②举反例说明命题是假命题；
③取直线l的两个不同整点，设方程为y=kx，把两整点的坐标代入l的方程，两式相减得到两整点的横、纵坐标之差的那个点也为整点且在l上，由此得到直线l经过无穷多个整点，判定命题为真；
④利用充分必要条件判断即可；
⑤举例子说明命题为真命题．
解答：
解：①直线y=x+
，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴命题①正确；
②当k=
，b=-
时，直线y=
x-
过整点（1，0），∴命题②错误；
③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），
把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，
两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），
则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，∴命题③正确；
④当直线y=kx+b经过无穷多个整点时，k、b都是有理数，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，当k、b都是有理数时，直线y=kx+b经过无穷多个整点，不一定成立，如y=x+
，∴必要性不成立；
∴命题④错误；
⑤直线y=
x只过一个整点（0，0），∴命题⑤正确．
综上，正确命题有3个，序号是①③⑤．
故选：C．
| 1 |
| 2 |
②当k=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），
把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，
两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），
则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，∴命题③正确；
④当直线y=kx+b经过无穷多个整点时，k、b都是有理数，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，当k、b都是有理数时，直线y=kx+b经过无穷多个整点，不一定成立，如y=x+
| 1 |
| 2 |
∴命题④错误；
⑤直线y=
| 2 |
综上，正确命题有3个，序号是①③⑤．
故选：C．
点评：本题考查了判定命题真假的问题以及对题中新定义的理解能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、(16+4
| ||
D、
|
若变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=3x-y的最小值为（ ）
|
| A、-4 | ||
| B、0 | ||
C、
| ||
| D、4 |
下列结论错误的是（ ）
| A、若点（2，3）在函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象上，则点（3，2）必在函数y=logax的图象上 |
| B、函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象比过点（0，1），就是说函数y=logax的图象必过点（1，0） |
| C、若点（m，n）既在函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象上，又在函数y=logax的图象上，则m=n |
| D、函数y=logax的图象（a＞0，且a≠1）的图象与y轴不可能有交点 |
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
| A、8 | B、10 | C、12 | D、14 |
下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（ ）
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