已知曲线C上的点到点F(0.1)的距离比它到直线y=-3的距离小2．(1)求曲线C的方程,(2)过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A.B两点.交圆F:x2+(y-1)2=1于M.N两点．①若$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BA}$.当λ∈[$\frac{1}{2}$.$\frac{2}{3}$]时.求k的取值范围,②过A.B两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点，交圆F：x²+（y-1）²=1于M，N两点（A，M两点相邻）．
①若$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BA}$，当λ∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]时，求k的取值范围；
②过A，B两点分别作曲线C的切线l₁，l₂，两切线交于点P，求△AMP与△BNP面积之积的最小值．

分析（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x²-4kx-4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k²+2=$\frac{1}{λ}-1+\frac{1}{\frac{1}{λ}-1}$，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；
②求出直线PA，PB的方程，表示出面积，即可得出结论．

解答解：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-3的距离小2，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，
∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x²=4y；
（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，
△=（-4k）²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵$\overrightarrow{BF}=λ\overrightarrow{BA}$，∴（-x₂，y₂）=λ（x₁-x₂，y₁-y₂），$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-\frac{1}{λ}$，
$\frac{16{k}^{2}}{-4}=\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=1-$\frac{1}{λ}+2+\frac{λ}{λ-1}$，
即4k²+2=$\frac{1}{λ}-1+\frac{1}{\frac{1}{λ}-1}$，
∵λ∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，∴$\frac{1}{λ}-1∈[\frac{1}{2}，1]$，
∵函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}，1$]单调单调递减，
∴4k²+2∈[2，$\frac{5}{2}$]，-$\frac{\sqrt{2}}{4}≤k≤\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$]．
②y=$\frac{1}{4}$x²，y′=$\frac{1}{2}$x，
∴直线PA：y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），PB：y-$\frac{1}{4}$x₂²=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），
两式相减整理可得x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k，
将x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k，代入直线PA的方程求得y=-1，
∴P（2k，-1），P到直线AB的距离d=$\frac{丨2{k}^{2}+2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵|AM|=|AF|-1=y₁，|BN|=|BF|-1=y₂，
∴|AM|•|BN|=y₁y₂=$\frac{{x}_{1}^{2}•{x}_{2}^{2}}{16}$=1，
∴△AMP与△BNP面积之积S_△AMP•S_△BNP
=$\frac{1}{2}$|AM|•d×$\frac{1}{2}$|BN|•d=$\frac{1}{4}$d²=$\frac{1}{4}$（2$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²=1+k²，
当且仅当k=0时，△AMP与△BNP面积之积的最小值为1．