Question

13．已知两圆x²+y²=1和（x-1）²+（y-1）²=1．求：
（1）两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）公共弦所在直线被圆C：x²+y²-2x-2y-$\frac{17}{4}$=0所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）将两圆的方程相减，化简后两圆的公共弦所在直线方程；
（2）将圆C化为标准式方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式，求出圆心C到直线x+y-1=0的距离，由弦长公式求得弦长．

解答 解：∵两圆方程是：x²+y²=1和（x-1）²+（y-1）²=1，
两个圆的方程相减得2x+2y-2=0，
∴两圆公共弦所在直线方程为x+y-1=0；
（2）将圆C：x²+y²-2x-2y-$\frac{17}{4}$=0化为：（x-1）²+（y-1）²=$\frac{25}{4}$，
∴圆心C的坐标是（1，1），半径是$\frac{5}{2}$，
∴圆心C（1，1）到直线x+y-1=0的距离d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴所求弦长为2 $\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{23}$．

点评 本题考查两圆的公共弦方程的求法，点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，考查了化简、计算能力．