Question

5．已知函数f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，x＞0
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）函数g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$f（x），求证：g（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$对x＞0恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求出切线方程；
（Ⅱ）要证不等式成立，只需求出左式的最小值大于右式的最大值即可．利用导函数分别求出两式的最值，判断即可．

解答 解（I）f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，x＞0
∴f'（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{2x{e}^{x-1}-2{e}^{x-1}}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=2，f'（1）=e，
∴切线方程为y=ex+2-e；
（II）证明：g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$f（x）=xlnx+$\frac{2}{e}$，
∴g'（x）=1+lnx，
由g'（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，g'（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是减函数，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是递增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
在x=$\frac{1}{e}$时，g（x）取到最小值g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$
令h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$
则h'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$  由h'（x）＞0得0＜x＜1，由h'（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
在x=1时，h（x）取到最大值h（1）=$\frac{1}{e}$，
∴对任意x＞0，都有g（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$成立．

点评 本题考查了导函数的概念和利用导函数判断函数的最值，利用最值解决恒成立问题．