Question

3．定理：若x∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinx＜x，设a，b，c∈（0，$\frac{π}{2}$），其中，a是函数y=x与y=cosx图象交点横坐标，b=sin（cosb），c=cos（sinc），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 利用定理，再构造新函数证明f（x）=sin（cosx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数；最后将x=a分别代入两函数，判断函数值正负，从而利用函数的单调性比较自变量a、b、c的大小．

解答 解：若x∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinx＜x，
令f（x）=sin（cosx）-x，
可得：f′（x）=-sinxcos（cosx）-1，x∈（0，$\frac{π}{2}$），f′（x）＜0，
所以函数f（x）是减函数，同理g（x）=cos（sinx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数
∵sina＜a，
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＜c
同理∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＞b
综上所述，b＜a＜c
故选：C．

点评 本题考查了利用函数的单调性比较大小的方法，恰当的构造函数，正确的研究其单调性是解决本题的关键．