Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前{a_n}项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，从而得到a₂=2，设数列{a_n}的公比为q，解得a1=

2

q

，a₃=2q，由S₃=7，得2q²-5q+2=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=lna_3n+1=3nln2，b_n+1-b_n=3ln2n，由此能求出{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是公比大于1的等比数列，
S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，
由a₂=2，得a1=

2

q

，a₃=2q．
又S₃=7，知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q2=

1

2

，
由题意得q＞1，
∴q=2，∴a₁=1．
故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）得a_3n+1=2³ⁿ
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2
又b_n+1-b_n=3ln2n
∴{b_n}是等差数列．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3ln2)

2

=

3n(n+1)

2

ln2．
故Tn=

3n(n+1)

2

ln2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．