题目内容

椭圆的两焦点把椭圆的对称轴上夹在两准线间的线段三等分，则椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：确定椭圆的两准线间的距离、两焦点间的距离，利用两焦点三等分椭圆两准线间的距离，建立方程，即可求得椭圆的离心率．
解答：两准线间的距离为 $\text{[math]}$ ，两焦点间的距离2c，
∵两焦点三等分椭圆两准线间的距离，
∴2c= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，即：6c²=2a²，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

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把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a²，第二次出现的点数为b²（其中a＞0，b＞0）．试求：
（Ⅰ）方程

=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；
（Ⅱ）方程

=1表示离心率为2的双曲线的概率．

（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C₁：

=1与双曲线C₂：9x2-

=1有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=

-12(x-4) (3＜x≤4)

．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

）与第（1）小题椭圆弧E₂：

≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

的取值范围．

给出下列四个命题：

①椭圆=1上一点P到左、右焦点距离之比为2：3，则P上到右准线的距离是10；

②椭圆=1的离心率是；

③将椭圆=1绕其左焦点按顺时针方向旋转，则所得椭圆的准线方程是y=和y=－；

④P是椭圆4x²+9y²－36=0上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，cos∠F₁PF₂的最小值是。

其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)。

给出下列四个命题：

①椭圆=1上一点P到左、右焦点距离之比为2：3，则P上到右准线的距离是10；

②椭圆=1的离心率是；

③将椭圆=1绕其左焦点按顺时针方向旋转，则所得椭圆的准线方程是y=和y=－；

④P是椭圆4x²+9y²－36=0上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，cos∠F₁PF₂的最小值是。

其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)。

给出下列命题：
①已知椭圆

的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）