Question

给出下列命题：
①已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：①分F₁M垂直于x 轴时，MF₂垂直于x 轴时，当∠F₁MF₂  为直角时，三种情况进行讨论．
②利用|AB|的最小值为抛物线的通径2p，进行判断．
③点斜式求出垂线方程，将它与渐近线方程联立求得交点M的坐标，计算线段MO 的值．
④求出两个圆的圆心和半径，再求出圆心距，由两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，从而得出结论．
解答：解：∵椭圆的两个焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），当F₁M垂直于x 轴时，这样的点M
有2个． 当MF₂垂直于x 轴时，这样的点M有2个．当∠F₁MF₂  为直角时，点M恰是椭圆短轴的端点（0，，2），
这样的点M有2个，综上，这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形，故①正确．
∵过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为抛物线的通径2p，由抛物线y=2x²
的方程即x²=y 知，p=，2p=，则|AB|的最小值为 ，故②不正确．
∵双曲线C：的一个焦点为（c，0），一条渐近线的方程 y=x，
故垂线方程为 y-0=-（x-c），它与渐近线 y=x 的交点M（，），
∴MO===a，故③正确．
∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圆心为（-1，0），半径等于1的圆．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圆心为（0，-1），半径等于的圆．
两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线
由2条，故④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查椭圆、抛物线、双曲线、圆的性质，两圆的位置关系，掌握圆锥曲线的性质是解题的关键．