Question

已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

Answer 1

（1）a＝4，b＝4（2）单调增区间为(－∞，－2)，；
单调减区间为，4－4e^－2.

(1)f′(x)＝e^x(ax＋b)＋ae^x－2x－4
＝e^x(ax＋a＋b)－2x－4，
∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，
∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，
∴a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f′(x)＝4e^x(x＋2)－2(x＋2)
＝2(x＋2)(2e^x－1)，
令f′(x)＝0得x₁＝－2，x₂＝ln，
列表：

x	(－∞，－2)	－2		ln
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，；
单调减区间为.
f(x)_极大值＝f(－2)＝4－4e^－2.