Question

（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB=3

3

时，求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过点E作EG⊥CF于G，连结DG．根据四边形BCEG、四边形ABCD是矩形，证出四边形ADEG是平行四边形，从而AE∥DG结合线面平行的判定定理，证出AE∥平面DCF；
（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H，连结AH．根据线面垂直的判定与性质，证出HF⊥平面ABH，可得∠AHB就是二面角A-EF-B的平面角，Rt△EFG中根据EG=

3

且EF=2，得出∠GFE=60°且FG=1，从而在Rt△CEF中算出CF=

EF

cos∠CFE

=4，进而得到BE=CG=3．最后在Rt△BEH中，算出BH=

3 3

2

，在Rt△ABH中，∠AHB的正切值，由同角三角函数的关系算出∠AHB的余弦之值，即可得到二面角A-EF-B的余弦值等于

5

5

．

解答：解：（1）过点E作EG⊥CF于G，连结DG
由题设条件可得四边形BCEG为矩形，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥EG且AD=EG
由此可得四边形ADEG是平行四边形，得AE∥DG
又∵AE?平面DCF，DG?平面DCF
∴AE∥平面DCF；
（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于点H，连结AH
由三视图可知AB⊥平面BCEF，结合HF?平面BCEF，得AB⊥HF
∵HF⊥BH，且AB、BH是平面ABH内的相交直线
∴HF⊥平面ABH，可得AH⊥HF
因此，∠AHB就是二面角A-EF-B的平面角
∵Rt△EFG中，EG=BC=

3

，EF=2，∴∠GFE=60°且FG=1
又∵∠CEF=90°，∴CF=

EF

cos∠CFE

=

2

cos60°

=4
由此可得BE=CG=3
Rt△BEH中，由sin∠BEH=

BH

BE

得BH=BEsin60°=

3 3

2

Rt△ABH中，tan∠AHB=

AB

AH

=

3 3

3 3 2

=2，可得cos∠AHB=

1 1+tan2∠AHB

=

5

5

因此，二面角A-EF-B的余弦值等于

5

5

．

点评：本题给出三视图，求证线面平行并求二面角的余弦之值．着重考查了直线与平面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和二面角的大小求法等知识，属于中档题．