Question

设F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，直线y=

3

x交双曲线左右两支于M，N，若|OM|=|OF|，则双曲线的离心率等于

3

+1

．

Answer 1

分析：根据直线的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c为边长的等边三角形，得点N（

1

2

c，

3

2

c），代入双曲线方程并化简整理，得关于离心率e的方程，解之可得该双曲线的离心率．

解答：解：∵直线y=

3

x交双曲左右两支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=

3

，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c为边长的等边三角形，
得N（

1

2

c，

3

2

c），代入双曲线方程得

( 1 2 c)2

a2

-

( 3 2 c)2

b2

=1
即：

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，将e=

c

a

和b²=c²-a²代入化简整理，
得

1

4

e2-

3

4

•

e2

e2-1

=1，解之得e²=4±2

3

∴双曲线的离心率e=

3

+1（因为双曲线离心率e＞1，舍去

3

-1）
故答案为：

3

+1

点评：本题给出直线y=

3

x交双曲线于M、N两点，且在|ON|=c的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于基础题．