Question

已知点F是双曲线C：x²-y²=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点，
（1）若直线l过点P（1，2），且，求直线l的方程．
（2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设，当λ∈[6，+∞）时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A、B两点在双曲线上，代入双曲线方程，利用点差法，结合，可求直线l的斜率，进而可求方程．
（2）根据，可得坐标关系，将直线方程代入双曲线方程，从而可得关于λ的函数，从而可求直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
（1）由A、B两点在双曲线上，得
作差：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）即，
由，知
则直线l的斜率，直线l的方程为即x-2y+3=0
易知直线l与双曲线有两个交点，方程x-2y+3=0即为所求，
（2）F（-2，0），由，得
设直线l：y=k（x+2），由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²），．
由y₂=λy₁，，，消去y₁，y₂，
得．
∵λ≥6，函数在（1，+∞）上单调递增，
∴，∴．
又直线l与双曲线的两支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0两根同号，
∴k²＜1．
∴，故．
点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，关键是设点代入作差．