Question

（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x²-y²=1．
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|=2

2

，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（|k|＜

2

）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ．

Answer 1

分析：（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|²=（x+

6

2

）²+y²，求出x的范围，推出M的坐标．
（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出平行四边形的面积．
（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b²=k²+1，通过求解

OP

•

OQ

=0．证明PO⊥OQ．

解答：解：（1）双曲线C₁：

x2

1 2

-

y2

1

=1的左焦点F（-

6

2

，0），
设M（x，y），则|MF|²=（x+

6

2

）²+y²，
由M点是右支上的一点，可知x≥

2

2

，
所以|MF|=

3

x+

2

2

=2

2

，得x=

6

2

，
所以M（

6

2

，±

2

）．
（2）左焦点F（-

6

2

，0），
渐近线方程为：y=±

2

x．
过F与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

（x+

6

2

），即y=

2

x+

3

，
所以

y=- 2 x y= 2 x+ 3

，解得

x=- 6 4 y= 3 2

．
所以所求平行四边形的面积为S=|OF||y|=

3 2

4

．
（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故

|b|

k2+1

=1，
即b²=k²+1…①，由

y=kx+b 2x 2-y 2=1

，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 2kb 2-k2 x1x2= -1-b2 2-k2

，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）．
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

(1+k2)(-1-b2)

2-k2

+

2k2b2

2-k2

+b2
=

-1+b2-k2

2-k2

．
由①式可知

OP

•

OQ

=0，
故PO⊥OQ．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．