Question

15．函数f（x）=sin²x+2acosx-a-3．
（I）当a=2时，求f（x）最大值．
（Ⅱ）若f（x）的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （I）根据同角三角函数的关系，转化为关于cosx的二次函数求值；
（II）根据同角三角函数的关系配方，化成关于cosx的二次函数，讨论对称轴与区间[-1，1]的关系，根据最大值列出方程解出．

解答 解：（I）a=2时，f（x）=sin²x+4cosx-5=-cos²x+4cosx-4=-（cosx-2）²．
∵cosx∈[-1，1]，∴当cosx=1时，f（x）取得最大值-1．
（II）f（x）=1-cos²x+2acosx-a-3=-（cosx-a）²+a²-a-2．
当a≤-1时，f_max（x）=-（-1-a）²+a²-a-2=2，解得a=-$\frac{5}{3}$．
当a≥1时，f_max（x）=-（1-a）²+a²-a-2=2，解得a=5．
当-1＜a＜1时，f_max（x）=a²-a-2=2，解得a=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$（舍）．
综上，a=-$\frac{5}{3}$或a=5．

点评 本题考查了三角函数的最值，三角函数的恒等变换，二次函数的最值讨论，属于基础题．