Question

在平面直线坐标系xOy中，已知圆C在x轴上截得线段长为2

3

，在y轴上截得线段长为2

2

（Ⅰ）若圆心C到直线y=x的距离为

2

2

，求圆C的方程；
（Ⅱ）若点M（x，y）在圆C上，求点M到直线y=-x距离的最大值，及（x-6）²+（y-7）²的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设出圆心和半径，根据条件建立方程组，即可求出圆的方程．
（Ⅱ）在、根据直线和圆的位置关系，以及两点间的距离公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设C（x，y），圆的半径为r，
∵圆C在x轴上截得线段长为2

3

，
∴y²+（

3

）²=r²，即y²+3=r²，
∵在y轴上截得线段长为2

2

，
∴x²+（

2

）²=r²，x²+2=r²，
两式消去r，得，即y²+3=x²+2
化简得：x²-y²=1，（x＞y）
∵圆心C到直线y=x的距离为

2

2

，
∴

|x-y|

2

=

2

2

，即|x-y|=1，
即x-y=1，∴1=x²-y²=（x-y）（x+y）=x+y，
解得x=1，y=0，即圆心C（1，0），
∵y²+3=r²=3，∴半径r=

3

，
则圆的方程为（x-1）²+y²=3．
（Ⅱ）圆心C到直线x+y=0的距离d=

|1+0|

2

=

2

2

＜

3

，
则点M到直线y=-x距离的最大值为d+r=

2

2

+

3

．
设B（6，7），则（x-6）²+（y-7）²的几何意义为|BM|的最小值，
∵|BC|=

(6-1)2+72

=

35+49

=2

21

，
∴|BM|的最小值为2

21

-

3

．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及两点间距离和点到直线的距离公式的应用，综合考查圆的性质．