Question

10．求下列函数的解析式
（1）己知f（x）=x²+3x+2，求f（x+1）；
（2）已知f（x²+1）=3x⁴+2x²-1，求f（x）；
（3）己知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）将原函数的x换上x+1即可求出f（x+1）；
（2）可令x²+1=t，从而可解出x²，这样带入原函数即可得出f（t），也就得到f（x）；
（3）根据f（x）为一次函数，可设f（x）=kx+b，然后可求出f（x+1）和f（x-1），从而可得到kx+5k+b=2x+17，这样根据对应项系数相等得到$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{5k+b=17}\end{array}\right.$，从而可求出k，b，这样便可得出f（x）．

解答 解：（1）f（x+1）=（x+1）²+3（x+1）+2=2x²+5x+6；
即f（x+1）=2x²+5x+6；
（2）令x²+1=t，则x²=t-1；
∴f（t）=3（t-1）²+2（t-1）-1=3t²-4t；
∴f（x）=3x²-4x；
（3）设f（x）=kx+b；
∴f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b，f（x-1）=k（x-1）+b=kx-k+b；
∴带入3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17得：3（kx+k+b）-2（kx-k+b）=2x+17；
整理得，kx+5k+b=2x+17；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{5k+b=17}\end{array}\right.$；
∴k=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．

点评 考查函数解析式的定义，已知f（x）求f[g（x）]的方法：将原函数的x换成g（x），而已知f[g（x）]，求f（x）的方法可换元：令g（x）=t，解出x带入原函数，以及一次函数的一般形式．