Question

【题目】已知椭圆C：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

求椭圆C的方程；

如图所示，该椭圆C的左、右焦点，作两条平行的直线分别交椭圆于A，B，C，D四个点，试求平行四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 最大值为．

【解析】

由题意离心率可得，再结合面积求解a，b的值，则椭圆方程可求；

由知，，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形ABCD的面积用三角形OAB的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值．

解：由题意，，则，即．

又，，．

椭圆C的方程为；

由知，，且直线AB的斜率不为0，

设直线AB的方程为，，，

联立，消去x得：．

得，．

四边形是平行四边形，根据对称性可知和关于点对称，

．

令，则，

．

，且函数在上单调递增，

当，即时，平行四边形ABCD面积的最大值为．