Question

【题目】已知点，直线及圆.

（1）求过点的圆的切线方程.

（2）若直线与圆相切，求的值.

（3）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 或； (2) 或；(3)

【解析】

（1）先由圆的方程得到圆心为，半径，分直线斜率不存在，与斜率存在两情况讨论，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离相等，进而可求出结果；

（2）根据直线与圆相切，得到，求解，即可得出结果；

（3）先由点到直线距离公式，得到圆心到直线的距离为，根据弦长的一半与半径、圆心到直线的距离三者之间的关系，列出方程求解，即可得出结果.

（1）因为圆的圆心为，半径，

当直线的斜率不存在时，过点的切线方程为.

当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即.

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，

由题意得，解得，所以方程为，即；

因此，过点的圆的切线方程为或；

（2）因为直线与圆相切，

所以，由题意可得：，解得或；

（3）由点到直线距离公式可得：

圆心到直线的距离为，

又直线与圆相交于、两点，且弦的长为，

所以，解得.