Question

已知z₁=（1-sinθ）+i，其中i为虚数单位，θ∈R．
（1）求|z₁|的取值范围；
（2）如果z₁和z2=

1

4(1+sinθ)

-

1

2cosθ

•i互为共轭复数，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）由复数模的计算公式，结合z₁=（1-sinθ）+i，我们易写出|z₁|的表达式，进而将问题转化为一个求函数值域的问题，结合三角函数的性质，我们易得|z₁|的取值范围；
（2）根据互为共轭复数的两个复数实部相等，虚部相反，我们可以构造一个三角方程，解方程即可求出满足条件的cosθ的值．

解答：解：（1）∵z₁=（1-sinθ）+i，
∴|z1|=

(1-sinθ)2+1

，
∴当sinθ=1时，|z₁|取最小值1，
当sinθ=-1时，|z₁|取最大值

5

，
所以|z₁|取值范围为[1，

5

]．

（2）由条件得

1-1sinθ= 1 4(1+sinθ) 1= 1 2cosθ

，
∴cosθ=

1

2

．

点评：本题考查的知识点是复数求模，及复数的基本概率中共轭复数的定义．
（1）中重要的熟练掌握三角函数的性质；
（2）中根据共轭复数的两个复数实部相等，虚部相反，构造方程是解答本题的关键．