Question

(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

（1）求{}的通项公式；

（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，

求证：.  

Answer 1

（I）解：由，解得或，由假设，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，从而是公差为，首项为的等差数列，

故的通项为．

（II）证法一：由可解得；

从而．

因此．

令，则．

因，故．

特别地，从而．

即．

证法二：同证法一求得及，

由二项式定理知，当时，不等式成立．

由此不等式有

．

证法三：同证法一求得及．

令，．

因．因此．

从而

．

证法四：同证法一求得及．

下面用数学归纳法证明：．

当时，，，

因此，结论成立．

假设结论当时成立，即．

则当时，

因．故．

从而．这就是说，当时结论也成立．

综上对任何成立．

解析:

（I）解：由，解得或，由假设，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，从而是公差为，首项为的等差数列，

故的通项为．

（II）证法一：由可解得；

从而．

因此．

令，则．

因，故．

特别地，从而．

即．

证法二：同证法一求得及，

由二项式定理知，当时，不等式成立．

由此不等式有

．

证法三：同证法一求得及．

令，．

因．因此．

从而

．

证法四：同证法一求得及．

下面用数学归纳法证明：．

当时，，，

因此，结论成立．

假设结论当时成立，即．

则当时，

因．故．

从而．这就是说，当时结论也成立．

综上对任何成立．