Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对任意x∈R，都有f′（x）＜

1

2

，则不等式f（log₃x）＞

log3x+1

2

的解集为

 

．

Answer 1

分析：设g（x）=f（x）-

1

2

x，由于f′（x）＜

1

2

，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．

解答：解：设g（x）=f（x）-

1

2

x，∵f′（x）＜

1

2

，∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，f（log₃x）＞

log3x+1

2

=

1

2

log₃x+

1

2

．
即g（log₃x）=f（log₃x）-

1

2

log₃x＞

1

2

=g（1）=f（1）-

1

2

=g（log₃3），
∴log₃x＜log₃3=1．
又y=log₃x为底数是3的增函数，∴0＜x＜3，故不等式的解集为（0，3），
故答案为 （0，3）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．