Question

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（1，0），C（0，4）
（Ⅰ）若直线y=2x+b平分△ABC面积，求实数b的值；
（Ⅱ）若直线y=kx+b（k＞0）平分△ABC的面积，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于直线y=2x+b平分△ABC面积，若设直线y=2x+b与△ABC的边AB、BC分别交于E、F，
只需S△EBF=

1

2

S△ABC，整理得：|2+b|=3

2

，又由b＞0，进而可得b的值；
（Ⅱ）分三种情况讨论：
①若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AB、BC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积，
②若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AC、BC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积，
③若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AB、AC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积，
由面积相等知即S△EBF=S△CDB=

1

2

S△ABC，同理得到进而可得到实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设直线y=2x+b与△ABC的边AB、BC分别交于E、F，
点B到EF、AC的距离分别为d₁，d₂，∵k_AC=k_EF，∴AC∥EF，
S△EBF=

1

2

S△ABC，∴

d1

d2

=

1

2

，

|2+b| 5

|2+4| 5

=

1

2

，整理得：|2+b|=3

2

，
又b＞0，b=3

2

-2；
（Ⅱ）分三种情况讨论：
①若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AB、BC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积：

取AB中点D，连CD，CE，过点D作DF∥CE，交BC于点F，
∵DF∥CE，∴S_△EDF=S_△CDF，∴有S_△EDF+S_△BDF=S_△CDF+S_△BDF
即S△EBF=S△CDB=

1

2

S△ABC，直线EF平分三角形ABC面积．
又k＞0，点E在线段AD满足条件，
当E与A点重合时，F为BC中点，此时：直线l_EF：4x-5y+8=0，此时b=

8

5

当E与D点重合时，F与点A重合，此时：直线l_EF：8x-y+4=0，此时b=4
所以b∈[

8

5

，4]；
②若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AC、BC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积：


同理，取D为AC中点，作DF∥BE，
∴有S△EDF+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△CDB=

1

2

S△ABC，
∵k＞0，点E可从点A开始（图2）运动到与直线AB平行
且平分三角形面积的直线位置（图三）
当E与A点重合时，F为BC中点（图2），此时：直线l_EF：4x-5y+8=0，此时b=

8

5

当E运动到与直线AB平行且平分三角形面积的直线位置（图三）
直线lEF：y=4-2

2

，但此时k=0，∴4-2

2

＜b≤

8

5

；
③若直线y=kx+b（k＞0）与三角形边AB、AC分别交于点E、F，平分三角形ABC面积：

取AB中点D，连CD，CE，过点D作DF∥CE，交AC于点F，
∵DF∥CE，∴S_△EDF=S_△CDF，故有S△EDF+S△ADF=S△CDF+S△ADF=S△ADC=

1

2

S△ABC
即S△AEF=S△CDA=

1

2

S△ABC，直线EF平分三角形ABC面积．
当EF⊥x轴时，k不存在，
当点E从EF⊥x轴的位置向点D运动时，k＞0，满足条件，
当E与D点重合时，F与点A重合，此时：直线l_EF：8x-y+4=0，此时b=4
所以得b≥4，
综合①②③可知，b∈(4-2

2

，+∞]．

点评：本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点三角形的面积求法．在求参数范围问题时要注意分析题意分情况讨论结果．