Question

如图，四棱锥中,，底面为梯形，，，且.（10分）

（1）求证：;
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为．

试题分析：（1）连结,交于点,连结，由所给条件可得，即，则；（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.
设，则可得坐标，设为平面的一个法向量，由
，可得，同理为平面的一个法向量，， 知二面角的余弦值.
试题解析：（1）连结,交于点,连结， ∵，， ∴
又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，
   ∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．
设为平面的一个法向量，
则，，∴，
解得，∴．
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，
解得，∴  
∴二面角的余弦值为．-------------------10分
方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则 

∵面⊥面，面面=，∴平面．
在平面内，过作直线于，连结，由、，
得平面，故．
∴就是二面角的平面角．
在中，设，，，
，，
由，可知：∽，
∴，  代入解得：．
在中，，
∴，．
∴二面角的余弦值为．