Question

如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.

Answer 1

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）由于点E是A₁C是的中点，点O是BC的中点，连接OE，OA，由三角形的中位线可得OE∥BB₁，并且OE=.又∥,并且.所以EO与DA平行且相等.所以四边形EOAD是平行四边形.所以DE∥AO.即可得到结论.
（2）由是母线，所以平面ABC.所以可得,又BC是圆得直径，所以.由此可得结论.
（3）由，即可得到面.即.所以.设圆的半径为r，圆柱的高为h，所以.圆柱的体积为.所以鱼被捕的概率为.
（1）证明：连结，，分别为的中点，∴．
又，且.∴四边形是平行四边形，
即．∴．       4分
（2） 证明：，为圆柱的母线，所以
因为垂直于圆所在平面，故，
又是底面圆的直径，所以，，所以，
由，所以.  8分
（3）解：鱼被捕的概率等于四棱锥与圆柱的体积比，
由，且由（1）知.∴，
∴ ，∴．
因是底面圆的直径，得，且，
∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，
则，，
∴：，即 .    12分