Question

已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3^x-1，则f（log 

1

3

12）的值为（　　）

• A、-

  11

  12

• B、-

  1

  4

• C、-

  1

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）+f（-x）=0、f（x-1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将
f（log 

1

3

12）进行转化到已知区间求值即可．

解答： 解：由f（x）+f（-x）=0得，f（-x）=-f（x），
所以f（x）是定义在R上的奇函数，
由f（x-1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），
所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，
则f（log 

1

3

12）=f（-

log

12 3

）=-f（

log

12 3

），
因为2＜

log

12 3

＜3，所以0＜

log

12 3

-2＜1，
因为当x∈[0，1）时，f（x）=3^x-1，
所以f（

log

12 3

-2）=3

log

12 3

-2-1=12×

1

9

-1=

1

3

，
所以f（log 

1

3

12）=-f（

log

12 3

）=-f（

log

12 3

-2）=-

1

3

，
故选：C．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数的运算律，解题的关键是判断出利用定义函数的奇偶性、周期性．