Question

6．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且AN=BN．
（Ⅰ）求证：AB⊥MN；
（Ⅱ）若∠ABC=30°，△NMA的面积为$\frac{\sqrt{15}}{24}$时，求点P到平面NMA的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AN为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥MN．
（Ⅱ）过河卒子 同平面MNA的法向量，利用向量法能求出点P到平面NMA的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且AN=BN，
∴AN、AC、AP两两垂直，
以A为原点，AN为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，1），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}+0$=0，
∴AB⊥MN．
（Ⅱ）∵∠ABC=30°，△NMA的面积为$\frac{\sqrt{15}}{24}$时，
∴由（Ⅰ）知$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
设平面MNA的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=\frac{\sqrt{3}}{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴点P到平面NMA的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．