Question

给出命题p：方程

x2

a

+

y2

2-a

=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．
（1）若命题p是真命题，求a的取值范围；
（2）如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据焦点在y轴上椭圆的方程特征，建立关于a的不等式组，解之即可得到a的取值范围；
（2）先求出当命题q为真时，实数a的取值范围为（-∞，

1

2

）∪（

5

2

，+∞）．而命题“p∨q”为真且“p∧q”为假，
说明p、q中一个为真命题且另一个为假命题，由此分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论加以讨论，分别建立关于a的不等式组，解不等式组后再取并集，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）若命题p为真，则有

a＞0 2-a＞0 2-a＞a

解之得0＜a＜1，即实数a的取值范围为（0，1）；
（2）若命题q为真，则有
△=（2a-3）²-4＞0，解之得a＜

1

2

或a＞

5

2

∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题，
①当p真q假时，

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，得

1

2

≤a＜1；
②当p假q真时，

a≤0或a≥1 a≤ 1 2 或a≥ 5 2

，得a≤0或a≥

5

2

所以a的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，1）∪[

5

2

，+∞）．

点评：本题给出含有字母参数的椭圆方程和二次函数，求命题为真时参数a的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．