题目内容

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式 $数学公式$ ＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．

（-∞，3]
分析：由条件可得函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数，再由函数f（x）=x|x-a|的增区间是（-∞，a）、（a，+∞），可得a≤3．
解答：∵对于任意x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂，不等式 $\text{[math]}$ ＞0恒成立，
∴函数f（x）=x|x-a|在[3，+∞）上是增函数．
再由函数f（x）=x|x-a|的增区间是（-∞，a）、（a，+∞），可得a≤3，故实数a的取值范围是（-∞，3]，
故答案为（-∞，3]．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，属于中档题．

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，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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（2012•深圳一模）已知函数f(x)=

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设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x³-4x+3．有下列命题：
①f(-

)；
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③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．