Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁
与B₁D₁交点，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求证：AO∥平面BC₁D；
（Ⅲ）设点M在△BC₁D内（含边界），且OM⊥B₁D₁，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB₁⊥A₁C₁．进而根据菱形的性质证明出A₁C₁⊥B₁D₁．最后根据线面垂直的判定定理证明出A₁C₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C₁E．先证明OC₁∥AE和OC₁=AE，推断出AOC₁E为平行四边形，进而推断AO∥C₁E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC₁D．
（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C₁E，进而根据C₁D=C₁B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B₁D₁．直角三角形OC₁E中利用射影定理求得OM．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁．
又A₁C₁?底面A₁B₁C₁D₁，
所以BB₁⊥A₁C₁．
因为A₁B₁C₁D₁为菱形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．而BB₁∩B₁D₁=B₁，
所以A₁C₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C₁E．
依题意，AA₁∥CC₁，
且AA₁=CC₁，AA₁⊥AC，
所以A₁ACC₁为矩形．
所以OC₁∥AE．
又OC1=

1

2

A1C1，AE=

1

2

AC，A₁C₁=AC，
所以OC₁=AE，所以AOC₁E为平行四边形，
则AO∥C₁E．
又AO?平面BC₁D，C₁E?平面BC₁D，
所以AO∥平面BC₁D．
（Ⅲ）在△BC₁D内，满足OM⊥B₁D₁的点M的轨迹是线段C₁E，包括端点．
分析如下：连接OE，则BD⊥OE．
由于BD∥B₁D₁，故欲使OM⊥B₁D₁，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．
又在△BC₁D中，C₁D=C₁B，又E为BD中点，所以BD⊥C₁E．
故M点一定在线段C₁E上．
当OM⊥C₁E时，OM取最小值．
在直角三角形OC₁E中，OE=1，OC1=

3

2

，C1E=

7

2

，
所以OMmin=

OC1•OE

C1E

=

21

7

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．