Question

已知函数在处存在极值.
(1)求实数的值；
(2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围；
(3)当时，讨论关于的方程的实根个数.

Answer 1

(1) .（2）的取值范围是.（3）①当或时，方程有两个实根；②当时，方程有三个实根；③当时，方程有四个实根.

试题分析：（1）求导得，将代入解方程组即得.(2) 由（1）得根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.接下来根据大于等于1和小于1分别求解.(3)由方程
知，显然0一定是方程的根，所以仅就时进行研究，这时方程等价于，构造函数，利用导数作出的图象即可得方程的要的个数.
试题解析：（1）当时，.      1分
因为函数在处存在极值，所以
解得.      4分
(2) 由（I）得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.
若，则，
由是直角得，，即，
即.此时无解；      6分
若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即，.
因为函数在上的值域是，
所以实数的取值范围是.      8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以仅就时进行研究：方程等价于
构造函数
对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，
当时取得最大值，其值域是；
对于部分，函数，由，
知函数在上单调递增.
所以，①当或时，方程有两个实根；
②当时，方程有三个实根；
③当时，方程有四个实根.       14分