Question

【题目】已知函数（为常数）.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）单调递增，见解析（2）（3）当时，无零点；当时，有两个零点.

【解析】

（1）假设，计算，得到答案.

（2）化简得到，设，，计算最值得到答案.

（3）讨论和两种情况，分别计算得到答案.

（1）当，在单调递增，以下证明：

假设，，

因为，所以，，，

所以，即，所以在单调递增.

（2）因为，所以，设，所以，

设，所以，所以.

所以当时，有恒成立.

（3）定义域为，显然是奇函数，所以只要研究的情况.

当时，在恒成立，所以无零点；

当时，在单调递增，又因为，所以在有唯一零点.

综上所述，当时，无零点；当时，有两个零点.