Question

【题目】已知函数，其最小正周期为 ．

（1）求 的表达式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若关于 的方程 在区间 上有解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[]

【解析】

⑴利用三角函数的恒等变换化简函数的表达式为，再根据的最小正周期求得的值，从而得到的表达式

⑵根据函数的图象变换规律，可得，由题意可得与在区间上有解，结合正弦函数的图像求得答案

（1）

又的最小正周期，所以，所以，

所以．

（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到的图象，

所以，

当 时，，

易知当，即 时，递增，且，

当，即 时，递减，且．

又 在区间 上有实数解，

即函数与的图象在区间 上有交点，

所以。

解得 所以实数的取值范围是[]