题目内容

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，n∈N₊，记 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：数列b_n是等比数列；
（Ⅱ）若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N₊恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
两式相除得 $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由a_n≤t•4ⁿ得 $\text{[math]}$ 易得 $\text{[math]}$ 是关于n的减函数，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （8分）
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（Ⅰ）由条件先得 $\text{[math]}$ ，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 $\text{[math]}$ ，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得 $\text{[math]}$ ，从而可解；
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ ，利用放缩法可证．
点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．