Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，n∈N^*，则a₂=

4

3

；并归纳出数列an的通项公式an=

2n

2n-1

．

Answer 1

分析：令n=1，利用a₁=2，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，可求得a₂，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0变形为2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，从而{

1

an

-1}为等比数列，首项为-

1

2

，公比为

1

2

，故可求通项公式．

解答：解：由 a₁=2，a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0得a2=

4

3

．
a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0可变形为2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，
∵a₁=2，∴

1

a1

-1=-

1

2

∴{

1

an

-1}为等比数列，首项为-

1

2

，公比为

1

2

，
所以

1

an

-1=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1，an=

2n

2n-1

．
故答案为：

4

3

，an =

2n

2n-1

点评：本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等比数列，考查数列的通项，解题的关键是构造数列，证明其为等比数列．