Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点．

（1）若E是棱的中点，证明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在，理由详见解析．

【解析】

（1）取中点为，连结，证明，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；

（2）先证明两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量为，再利用向量的夹角公式，即可得答案；

（3）设，由，解得与假设矛盾，从而得到结论.

（1）证明：取中点为，连结，

在中，因为为的中点，

所以且．

又因为是的中点，，

所以且，

所以为平行四边形

所以．

又因为平面， ．

平面，

所以平面．

（2）连结，

因为是等边三角形，是的中点，

所以，

因为，，

所以．

因为平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以两两垂直．

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，

，

设平面的法向量为，

则，

即，

令，则，，

所以．

平面ABC的法向量为，

．

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．

（3），，

设，

则，

所以，，

所以，

假设，

则，解得，

这与已知矛盾．不存在点E.