Question

已知数列中，

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）.

（Ⅲ）的最小值是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），①

，②

①-②：，，        2分

即（），又=2，

时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列.

，故           4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，，

当时，；

当时,,①

,②

①-②得，

= 

=

，又也满足

               9分

（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：

当时，，令，

则，

又，∴

∴当时，单增，∴的最小值是

而时，，综上所述，的最小值是

∴，即的最小值是         13分

考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式，“错位相减法”，不等式恒成立问题。

点评：难题，为确定等差数列、等比数列的通项公式，往往通过建立相关元素的方程组，而达到目的。数列的求和问题，往往涉及“公式法”“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”等。涉及不等式恒成立问题，通过放缩、求和等，得到最值。