Question

已知数列ξ中，满足a1=1且an+1=

an

1+nan

，则

lim

n→∞

(n2an)=（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．2
• D．

  a

  a2-b2

Answer 1

分析：先取倒数得：

1

an+1

-

1

an

=n，n分别取1，2，…n-1，再累加，可求通项，进而可求极限．

解答：解：取倒数得：

1

an+1

-

1

an

=n
n分别取1，2，…n-1，累加得：

1

an

- 

1

a1

=1+2+…+n-1
∵a₁=1
∴

1

an

=

n2-n+2

2

∴an=

2

n2-n+2

∴

lim

n→∞

(n2an)=

lim

n→∞

2n2

n2-n+2

=2
故选C．

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的极限，关键是取倒数，求通项，进而求极限．