Question

已知数列ξ中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）依题意，由a₁=0，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通过（1）可猜想a_n=

n-1

n

（n=1，2，3，…）；下面用数学归纳法证明即可：先证当n=1时结论成立，再假设假设n=k时，结论成立，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答：解：（1）a₂=

1

2

，a₃=

1

2-a2

=

2

3

，同理可得a₄=

3

4

…（3分）
（2）猜想a_n=

n-1

n

（n=1，2，3，…）…（6分）
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即a_k=

k-1

k

，
那么当n=k+1时，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

k

k+1

=

(k+1)-1

k+1

，
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，a_n=

n-1

n

对一切自然数n都成立．…（13分）

点评：本题考查数列的递推式，考查归纳猜想，着重考查数学归纳法，考查推理与证明，属于难题．