Question

【题目】根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.

（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取，，，共25场，在，，，中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；

（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的与数据：

	10	15	20	25	30	35	40
	2302	2708	2996	3219	3401	3555	3689
	2.49	2.99	3.55	4.00	4.49	4.99	5.49

（i）用最小二乘法求与之间的回归直线方程；

（ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值.

参考数据和公式：，，，，

，.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析，；（2）（i）；（ii）20.

【解析】

（1）根据题意，确定抽样比，得到，，，的值分别为5，6，9，5；所以这两数和的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；

（2）（i）由最小二乘法，结合题中数据，求出，的估计值，从而可得回归直线方程；

（ii）由（i）得到，所以，设，用导数的方法求其最值即可.

（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为，

所以，，，的值分别为5，6，9，5.

所以这两数和的所有可能的取值为10，11，14，15.

于是，，

，，

所以随机变量的分布列为：

	10	11	14	15

所以.

（2）（i）因为，，，，

所以，

即，

所以与之间的回归直线方程为.

（ii）因为，

所以，

设，

则，

令，在恒成立，

则在为减函数，又，

所以当时，，，所以在上单调递增，

当时，，，所以在上单调递减，

所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值为20.