题目内容
【题目】已知在多面体中,
,
,
,
,
且平面
平面
.
(1)设点为线段
的中点,试证明
平面
;
(2)若直线与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)由四边形为平行四边形.∴
,再结合
平面
,即可证明
平面
;
(2)由空间向量的应用,建立以为原点,
所在直线为
轴,过点
与
平行的直线为
轴,
所在直线为
轴的空间直角坐标系,再求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,再利用向量夹角公式求解即可.
(1)证明:取的中点
,连接
,
,
∵在中
,∴
.
∴由平面平面
,且交线为
得
平面
.
∵,
分别为
,
的中点,∴
,且
.
又,
,∴
,且
.
∴四边形为平行四边形.∴
,
∴平面
.
(2)∵平面
,
,
∴以为原点,
所在直线为
轴,过点
与
平行的直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系.则
,
,
.
∵平面
,∴直线
与平面
所成的角为
.
∴.∴
.
可取平面的法向量
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,则
,
.∴
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】根据《山东省全民健身实施计划(2016-2020年)》,到2020年乡镇(街道)普遍建有“两个一”工程,即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.
(1)在一次全民健身活动中,四个多功能运动场的使用场数如图,用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取,
,
,
共25场,在
,
,
,
中随机取两数,求这两数和
的分布列和数学期望;
(2)设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为,其相应维修费用为
元,根据统计,得到如下表的
与
数据:
10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | |
2302 | 2708 | 2996 | 3219 | 3401 | 3555 | 3689 | |
2.49 | 2.99 | 3.55 | 4.00 | 4.49 | 4.99 | 5.49 |
(i)用最小二乘法求与
之间的回归直线方程;
(ii)叫做运动场月惠值,根据(i)的结论,试估计这四个多功能运动场月惠值最大时
的值.
参考数据和公式:,
,
,
,
,
.