题目内容
【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)见解析(II)(III)
【解析】试题
(Ⅰ)取为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面
的法向量
,且
,据此有
,则
平面
.
(Ⅱ)由题意可得平面的法向量
,结合(Ⅰ)的结论可得
,即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设,
,则
,而平面
的法向量
,据此可得
,解方程有
或
.据此计算可得
.
试题解析:
(Ⅰ)取为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图,则
,
,
,
,∴
,
,
设平面的法向量
,∴
不妨设
,又
,
∴,∴
,又∵
平面
,∴
平面
.
(Ⅱ)∵,
,设平面
的法向量
,
∴不妨设
,∴
,
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设
,
,∴
,
∴,又∵平面
的法向量
,
∴,∴
,∴
或
.
当时,
,∴
;当
时,
,∴
.
综上,.

练习册系列答案
相关题目