题目内容
【题目】如图,已知梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)见解析(II)(III)
【解析】试题
(Ⅰ)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面的法向量,且,据此有,则平面.
(Ⅱ)由题意可得平面的法向量,结合(Ⅰ)的结论可得,即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(Ⅲ)设,,则,而平面的法向量,据此可得,解方程有或.据此计算可得.
试题解析:
(Ⅰ)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,∴,,
设平面的法向量,∴不妨设,又,
∴,∴,又∵平面,∴平面.
(Ⅱ)∵,,设平面的法向量,
∴不妨设,∴,
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(Ⅲ)设 ,,∴,
∴,又∵平面的法向量,
∴,∴,∴或.
当时,,∴;当时,,∴.
综上,.
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