题目内容

11．下列命题中，正确的有①③④
①△ABC中，A＞B的充分必要条件是sinA＞sinB；
②已知向量$\overrightarrow a=（λ，2λ），\overrightarrow b=（3λ，2）$，如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则λ的取值范围是$λ＜-\frac{4}{3}$或λ＞0；
③若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则c=6；
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则AC的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

分析 ①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，于是sinA＞sinB，即可判断出正误；
②如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，且不能反向共线，可得3λ2+4λ＜0，且6λ2-2λ≠0，解出即可判断出正误；
③f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），由于函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，可得f′（2）=0，解得c=2或6，再进一步判断出即可；
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，则$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA．同理若C是最大角，则$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，即可判断出真假．

解答 解：①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，于是sinA＞sinB，正确；
②如果$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜0，且不能反向共线，∴3λ2+4λ＜0，且6λ2-2λ≠0，解得$-\frac{4}{3}＜λ＜0$，因此不正确；
③f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），∵函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=（2-c）（6-c）=0，解得c=2或6，当c=2时，函数f（x）在x=$\frac{2}{3}$处取得极大值，舍去；当c=6时，函数f（x）在x=2处取得极大值，正确．
④在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，则$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA＞$2sin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．若C是最大角，则$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA$＜2cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，综上可得：AC的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．故正确．
综上可得：正确的命题为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理的应用、利用导数研究函数的单调性与极值、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
1．已知双曲线x2-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）的焦距为4，则b=$\sqrt{3}$．
2．若点A（1，2）到抛物线x2=2py（p＞0）准线的距离为4，则p=4．
19．椭圆2x2+y2=8的焦点坐标是（　　）
A．（±2，0）B．（0，±2）C．（±2$\sqrt{3}$，0）D．（0，±2$\sqrt{3}$）
6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（　　）
A．$\sqrt{2}$+1B．2$\sqrt{2}$+1C．$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$D．$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
16．已知单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．若（5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（k∈R），则k=2，|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$．
3．用区间表示下列集合：
（1）$\{x\left|{-\frac{1}{2}≤x＜5\}}\right.$=[-$\frac{1}{2}$，5）．
（2）{x|x＜1或2＜x≤3}=（-∞，1）∪（2，3]．
20．已知函数$f（x）=\frac{x+2a-1}{{{x^2}+1}}$为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．
（1）求实数a的值；
（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；
（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2n）+f（-2016）＜f（0）．
1．F1、F2为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为$\frac{1}{2}$c2，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网