Question

1．如图，以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上一点M为圆心的圆恰好与y轴相切，与x轴交于A，B两点，其中A是双曲线的右顶点，若△MAB是等边三角形，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用M为圆心的圆恰好与y轴相切，与x轴交于A，B两点，其中A是双曲线的右顶点，若△MAB是等边三角形，得出M（2a，$\sqrt{3}$a），代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵M为圆心的圆恰好与y轴相切，与x轴交于A，B两点，其中A是双曲线的右顶点，若△MAB是等边三角形，
∴M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，可得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}a$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，确定M的坐标是关键，属于中档题．