Question

实数x，y满足x²+y²=1，则

2xy

x+y-1

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先根据实数x，y满足x²+y²=1，利用三角换元法：设x=cosθ，y=sinθ，则

2xy

x+y-1

=

2cosθsinθ

cosθ+sinθ-1

=cosθ+sinθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，最后利用三角函数的性质即可得出

2xy

x+y-1

的最大值．

解答：解：∵实数x，y满足x²+y²=1，
∴设x=cosθ，y=sinθ，
则

2xy

x+y-1

=

2cosθsinθ

cosθ+sinθ-1

=

(cosθ+sinθ) 2-1

cosθ+sinθ-1

=cosθ+sinθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，
则

2xy

x+y-1

的最大值为

2

+1．
故答案为：

2

+1．

点评：本小题主要考查二元函数最值的求法、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，与转化思想．属于基础题．