Question

已知函数

（1）判断函数的奇偶性；

（2）试用函数单调性定义说明函数在区间和上的增减性；

（3）若满足：，试证明：．

 

Answer 1

（1）偶函数，（2）在上是减函数，在上是增函数（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）判定函数奇偶性，首先判定函数定义域是否关于原点对称，然后再判断与的相等或相反关系.本题定义域为一切实数，关于原点对称.函数为分段函数，需分类讨论. 当时，，.当时，，.故为偶函数.（2）利用定义研究函数单调性，需注重作差后的变形，关键是提取公因式，进行因式分解，以便判断符号.（3）由于是同区间的两个任意数，所以只需证，从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知：

，所以成立.

试题解析：【解析】
（1）∵当时，，∴

∴ 2分

∵当时，，∴

∴ 4分

∴对都有，故为偶函数 5分

（2）当时，

设且，则 7分

∴当时，即

当时，即 9分

∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数 11分

（3）由（2）可知，当时：

若，则即

若，则即

∴当时，有 12分

又由（1）可知为偶函数，∴当时，有 13分

∴若，时，则， 14分

∴，即 15分

考点：分段函数的奇偶性、单调性.