题目内容
设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a＞0，不等式e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，则a的取值集合是 ．
考点：函数恒成立问题
专题：计算题,导数的综合应用
分析：利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=-1+a≥e-1可得a≥e，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于e2可得答案．
解答：
解：f′（x）=
-2x+a=
，
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=-1+a≥e-1，
∴a≥e，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴最大值为f（e）=a2-e2+ae≤e2，
又a≥e，
解得a=e，
∴a的取值集合是{e}，
故答案为：{e}．
| a2 |
| x |
| -(2x+a)(x-a) |
| x |
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=-1+a≥e-1，
∴a≥e，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴最大值为f（e）=a2-e2+ae≤e2，
又a≥e，
解得a=e，
∴a的取值集合是{e}，
故答案为：{e}．
点评：该题考查函数恒成立问题、利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想，利用f（1）=-1+a≥e-1得a的范围是解题关键．
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