Question

已知函数，．

（Ⅰ）解方程：；

（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值的表达式；

（Ⅲ）若，，求 的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ），

或（舍去），

所以．

（Ⅱ），，

令，则，

①当时，，

②当时，，

若，则，

若，当，即时，，

当，即时，，

当，即时，，

综上，．

（Ⅲ）由题意知：，

所以，

其中，所以，

由知的最大值是，又单调递增，

所以．

考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数的性质，二次函数的图象和性质，均值定理的应用。

点评：中档题，本题综合考查分段函数的概念，指数函数的性质，二次函数的图象和性质，均值定理的应用。利用换元思想，将问题转化成二次函数问题，通过变换函数表达式，创建应用均值定理的条件，体现应用数学知识的灵活性。