Question

【题目】如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C作与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D．

（Ⅰ）证明：CD⊥AB；

（Ⅱ）若AA1与底面A1B1C1所成角为60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接AC1交A1C于点E，连接DE．推导出BC1∥DE，由四边形ACC1A1为平行四边形，得ED为△AC1B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CD⊥AB．（Ⅱ）过A作AO⊥平面A1B1C1垂足为O，连接A1O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

（Ⅰ）连接AC1交A1C于点E，连接DE．

因为BC1∥平面A1CD，BC1平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD＝DE，

所以BC1∥DE．

又因为四边形ACC1A1为平行四边形，

所以E为AC1的中点，所以ED为△AC1B的中位线，所以D为AB的中点．

又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．

（Ⅱ）过A作AO⊥平面A1B1C1垂足为O，连接A1O，设AB＝2．

因为AA1与底面A1B1C1所成角为60°，所以∠AA1O＝60°．

在Rt△AA1O中，因为，

所以，AO＝3．

因为AO⊥平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，

所以AO⊥B1C1．

又因为四边形B1C1CB为矩形，所以BB1⊥B1C1，

因为BB1∥AA1，所以B1C1⊥AA1．

因为AA1∩AO＝A，AA1平面AA1O，AO平面AA1O，所以B1C1⊥平面AA1O．

因为A1O平面AA1O，所以B1C1⊥A1O．又因为，所以O为B1C1的中点．

以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．

则，C1（0，﹣1，0），A（0，0，3），B1（0，1，0）．

因为，

所以，，

因为，

所以，，，

，．

设平面BA1C的法向量为＝（x，y，z），

由得

令，得z＝2，所以平面BA1C的一个法向量为．

设平面A1CC1的法向量为＝（a，b，c），

由得

令，得b＝﹣3，c＝1，所以平面A1CC1的一个法向量为．所以，

因为所求二面角为钝角，所以二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值为．